Span, Basis, Dimension 정리 | 벡터 공간을 표현하는 최소 기준

Basis는 벡터 공간을 표현하는 데 필요한 최소한의 기준 벡터 집합이다. 어떤 벡터들이 공간 전체를 만들 수 있고, 동시에 서로 중복되지 않는다면 그 벡터들은 해당 공간의 basis가 된다. Dimension은 그 basis에 포함된 벡터의 개수로 정의된다.

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Basis를 이해하기 전에 봐야 할 개념

Basis는 단독으로 이해하기 어렵다.

아래 흐름이 같이 연결된다.

선형 결합 → Span → 선형 독립 → Basis → Dimension

각 개념은 따로 있는 것이 아니라, “벡터 공간을 어떤 기준으로 표현할 것인가”라는 문제로 이어진다.

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선형 결합이란

선형 결합은 여러 벡터에 각각 스칼라를 곱한 뒤 더하는 방식이다.

a₁v₁ + a₂v₂ + ... + aₙvₙ

예를 들어 (1, 0)과 (0, 1)이 있을 때:

2(1, 0) + 3(0, 1) = (2, 3)

즉, 기존 벡터를 재료처럼 조합해 새로운 벡터를 만드는 방식이다.

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Span이란

Span은 주어진 벡터들의 선형 결합으로 만들 수 있는 모든 벡터의 집합이다.

예를 들어 (1, 0), (0, 1)은 2차원 평면의 모든 벡터를 만들 수 있다.

a(1, 0) + b(0, 1) = (a, b)

따라서 이 두 벡터는 2차원 공간 전체를 span한다고 말할 수 있다.

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Basis의 조건

어떤 벡터 집합이 basis가 되려면 두 조건을 만족해야 한다.

조건 의미

Span	해당 공간 전체를 만들 수 있어야 함
Linear Independence	중복된 벡터가 없어야 함

즉, basis는 공간을 만들 수 있으면서도 불필요한 벡터가 없는 집합이다.

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Basis 예시

2차원 공간에서 아래 두 벡터는 basis가 된다.

(1, 0), (0, 1)

이 두 벡터는 2차원 전체를 만들 수 있고, 서로 독립이다.

반면 아래 세 벡터는 basis가 아니다.

(1, 0), (0, 1), (1, 1)

이유는 (1, 1)을 앞의 두 벡터로 만들 수 있기 때문이다.

(1, 1) = (1, 0) + (0, 1)

공간 전체를 만들 수는 있지만, 중복된 벡터가 포함되어 있으므로 basis라고 볼 수 없다.

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Dimension이란

Dimension은 basis에 들어 있는 벡터의 개수다.

2차원 공간 → basis 벡터 2개
3차원 공간 → basis 벡터 3개

차원은 단순히 좌표축의 개수가 아니라, 그 공간을 표현하는 데 필요한 독립적인 기준 벡터의 개수라고 이해하면 된다.

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Basis는 하나만 있는 게 아니다

2차원 공간의 basis는 (1, 0), (0, 1)만 있는 것이 아니다.

(1, 0), (1, 1)

이 두 벡터도 서로 독립이고 2차원 전체를 만들 수 있으므로 basis가 될 수 있다.

즉, 표준 기저는 가장 익숙한 basis일 뿐이고, basis 자체는 여러 방식으로 선택할 수 있다.

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왜 중요한가

Basis를 이해하면 이후 개념이 훨씬 자연스럽게 이어진다.

• 좌표 표현
• 선형 변환
• 행렬의 의미
• PCA
• 차원 축소
• 딥러닝의 벡터 표현

특히 PCA는 데이터를 더 잘 설명하는 방향으로 basis를 바꾸는 관점으로 이해할 수 있다.

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Basis는 벡터 공간 전체를 표현할 수 있으면서도 중복이 없는 최소한의 기준 벡터 집합이다.